Bayes em Julgamento

Li uma matéria muito interessante na revista NewScientist (outubro 2009) sobre como falácias atrapalham os julgamentos e como a matemática pode ajudar nessas situações.

Em um exemplo interessante, o artigo ensina como uma evidência (mancha de sangue) deveria influenciar o julgamento de um suspeito.

Digamos que até o momento atribuimos ao suspeito 60% de chances de ele ser inocente: P(I)=0.6.  Mas o sangue dele coincide com o tipo encontrado na cena e esse tipo de sangue só é encontrado em 10% da população. Como isso deveria influenciar nosso julgamento do suspeito?

De acordo com o teorema de Bayes, temos:

P(I|E) = P(I) X P(E|I) / P(E)

Ou seja, a probabilidade dele ser inocente (I) dado a evidência P(I|H) é igual a probabilidade dele ser inocente P(I) multiplicada pela probabilidade da evidência E sendo ele inocente P(E|I)  dividida pela probabilidade da evidência P(E).

A probabilidade da evidência sendo ele inocente P(E|I) é 0.1, dado que é um tipo sanguíneo que é encontrado em 10% da população. Já a probabilidade da evidência P(E) será a soma dos produtos das probabilidades, sendo ele inocente ou não:

P(E) = P(E|I) X P(I)  +  P(E| não I) X  P(não I)

A probabilidade da evidência sendo ele culpado e o sangue realmente dele P(E| não I) seria 1.  Então podemos calcular P(E):

P(E) = 0.1 X 0.6 + 1 X 0.4 = 0.46

E de acordo com Bayes podemos calcular a probabilidade dele ser inocente, dado a evidência:

P(I|E) = (0.6 X 0.1 ) / 0.46 = 0.13

Até aqui temos o que foi mostrado no artigo. Para entender melhor o funcionamento da equação, fiz um pequeno programa em Python para entender melhor o teorema:

import matplotlib.pyplot as plt
x, y = [], []
for i in range(1,20):
PH = .05 * i
PEH = .1
PE = (PEH * PH) + (1 * (1 – PH))
PHE = (PH * PEH) / PE
print PH, PHE
x.append(PH)
y.append(PHE)
plt.plot (x,y, ‘ro’)
plt.show()

Considerei bastante razoável a forma como a evidência influenciou as chances do suspeito ser inocente – mesmo acreditando em 60% na inocência dele, a forte evidência levou as chances dele ser inocente muito para baixo.

Tal resultado deveria ser diferente – embora, segundo o artigo não seja o que normalmente ocorre na prática – se houvesse uma forte credibilidade no suspeito. Se o juri acreditasse que ele tem 99% de chances de ser inocente, a influência da evidencia seria bem menor: P(I|E) seria igual a 0.91 .

Na verdade, nesse caso, mesmo diante de uma evidência mais contundente (onde só 1% da população coincide), ainda assim P(I|E) seria igual a 0.50, i.e., ele ainda deveria ser considerado como tendo 50% de chances de ser inocente.

Confesso que não entendi muito bem por que uma “neutralidade” em relação ao suspeito não produz o resultado que meu senso comum esperaria. Considerar o suspeito como tendo 50% de chances de ser inocente, diante da evidência produz um resultado menor que o da própria evidência: P(I|E) = 0.09 .

É ótimo poder usar a linguagem para isso, calcular fórmulas, variar valores e olhar os gráficos. Mesmo sabendo muito pouco sobre o assunto, é possível fazer alguns testes e entender, pelo menos de forma empírica, muito melhor.

Deixe uma resposta

Faça o login usando um destes métodos para comentar:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s